Reconnaissance et tracés de droites perpendiculaires à une droite donnée
logo imprimer

I Diagnostic

II Remise à niveau

III Quelques exemples de programmes de construction (en rapport avec les tracés de perpendiculaires)

Diagnostic

Il s’agit d’identifier les élèves qui présentent des difficultés pouvant être de deux ordres :

* reconnaissance de perpendiculaires dans un contexte qui peut être plus ou moins complexe ; là encore on peut affiner le diagnostic en identifiant parmi ces élèves ceux qui ont un problème de vocabulaire (confusion avec le mot " parallèle " par exemple) et ceux qui n’ont pas assimilé la notion ( qui ne font pas la différence par exemple entre droites sécantes et droites perpendiculaires).

*difficultés liées aux tracés de perpendiculaires, avec le souci de distinguer un environnement simple (tracé de perpendiculaire à une droite horizontale ou proche de l’horizontale, et tracé de perpendiculaire à une droite horizontale ou oblique et/ou passant par un point donné (le tracé d’une droite, perpendiculaire à une droite passant par un point est réussi par 56% des élèves entrant en 6ème quand le point est " au-dessus " de la droite, par 37% seulement si le point est " au-dessous " de la droite et par 22% quand il faut prolonger la droite !)

On se reportera pour cela au chapitre " évaluation "

Début

Remise à niveau

Pour la reconnaissance :

Il s’agit de construire le concept de droites perpendiculaires, c’est à dire de faire que les élèves soient capables de comprendre en quoi il diffère de celui de droites parallèles et de caractériser ce qui en fait un sous groupe des droites sécantes.

Pour le tracé :

On fera tracer des droites perpendiculaires dans différents cas, avec différents instruments ou supports, y compris informatique.

Voici un exemple de progression possible, qui prend du temps.

(à partir du document de Pierre Lévy (novembre 1993)

1ère séance : les élèves disposent de la première série de cartes numérotées de 1 à 12 ;

Individuellement, ils doivent les classer dans différents groupes. On aura fait attention à ne pas prononcer les mots de parallèles, perpendiculaires . pour ne pas influer sur leurs choix. (On obtient très souvent une classification du genre : ont un point commun ou non, (cartes 1,4,5,8,11,12 ensembles) ou alors il y a une droite horizontale (cartes 2,7,11 12) ou une droite verticale(cartes 2,3,4,12) et des cartes inclassables(carte 5, par exemple))

Avec son voisin, l’élève compare son classement, ils doivent se mettre d’accord et pouvoir justifier leurs décisions. (la notion de droites parallèles ou sécantes émane davantage à ce moment, les cartes 5et 12 étant laissées hors de ce classement)

Avec tous les groupes, le professeur recense toutes les classifications proposées par les différentes équipes.

(Les trois groupes attendus apparaissent en principe, et on discutera sur les cartes litigieuses.)

On demande aux élèves de refaire le même travail à la maison avec une autre série de cartes ou le classement est moins évident : droites très éloignées, presque perpendiculaires, support perturbant.

2ème séance : confrontation des propositions de classement : pour régler les cas litigieux, il faudra avoir recours à un instrument. L’équerre sera privilégiée.

Vérification de la bonne utilisation de l’équerre, repérage de l’angle droit et positionnement sur la figure ; Obligation pour certaines cartes de prolonger les droites (étape importante qui permet à certains de se débloquer face à une situation où on ne voit pas si les droites sont sécantes ou non) On n’insistera pas sur la vérification du parallélisme.

Classement définitif des cartes données ( On pourra vérifier les cas litigieux de la première séance avec l’outil).

Sur une figure plus complexe donnée par le professeur, repérage en utilisant l’équerre, des droites perpendiculaires, introduction du codage des angles droits et du symbole pour l’expression " est perpendiculaire à ".

On demande aux élèves de préparer à la maison une série de 10 cartes avec des droites perpendiculaires ou non et de noter à part leur classement. (Ce travail fait un lien avec la deuxième partie qui consistera à tracer des droites perpendiculaires ; l’élève devant chez lui effectuer des tracés qui seront validés par ses camarades).

3ème séance : chaque élève reçoit une série de cartes d’un autre élève et établit son classement en utilisant l’équerre. Confrontation des résultats et vérification.

Tracés de droites : les consignes sont données oralement

- sur un quadrillage, tracer une perpendiculaire à une droite horizontale

- tracer une perpendiculaire à une droite verticale

- tracer une perpendiculaire à une droite oblique

- sur papier blanc - tracer une perpendiculaire à une droite oblique

- tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point situé sur la droite

- tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point situé hors de la droite, mais "au-dessus "du trait

- tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point situé hors de la droite mais "en dehors" du trait.

Reproduction d’une figure codée sur papier blanc

- figure simple du type rectangle, carré, triangle rectangle

- figure complexe.

On demande aux élèves d’inventer à la maison une figure comportant des droites perpendiculaires et de la coder.

4ème séance : utilisation de programmes de construction écrits (voir les énoncés en fin d’article).

faire exécuter des programmes de construction
faire écrire les programmes de construction de figures données
On demande aux élèves, à la maison, d’inventer un programme de construction et de l’exécuter sur une autre feuille.

5ème séance :

Chaque élève doit exécuter le programme de construction d’un autre élève.

Confrontation des productions et amélioration des textes, qui pourront être proposés aux autres élèves de la classe lors d’un devoir à la maison par exemple.

6ème séance :

On pourra utiliser les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires pour de courtes séquences déductives.

La notion de perpendiculaire étant évidemment primordiale dès qu’on a en perspective la symétrie axiale, il est indispensable de s’intéresser à ce pré-requis.

Si l’on ne dispose que de trois séances, on pourra laisser pour plus tard les 5ème et 6ème séances, et réduire les quatre séances pour en faire trois !

Début

Quelques exemples de programmes de construction en rapport avec les tracés de perpendiculaires

Place sur la feuille trois points non alignés : M, N et P.
Trace la droite (d) qui est perpendiculaire à la droite (MN) et qui passe par P.
Trace la droite (d’) qui est perpendiculaire à la droite (NP) et qui passe par M.
. Les droites (d) et (d’) se coupent au point A.
Quelle conjecture peux-tu faire pour les droites (NA) et (MP) ?
La figure à tracer comporte six droites (les trois supports des côtés du triangle MNP et les trois hauteurs du triangle) aussi la position des points M, N, P influe considérablement sur la lisibilité de la figure. Il peut être souhaitable de donner une feuille à chaque élève, avec les trois points déjà placés, en prenant soin d’induire des configurations différentes, et d’éviter les dispositions rendant la lecture de la figure moins aisée (triangle " presque rectangle " par exemple).

Les élèves les plus rapides pourront être invités à produire plusieurs figures différentes, soit en leur fournissant une nouvelle feuille, soit en leur demandant de placer eux-mêmes les points différemment. On insistera sur le soin à améliorer pour les productions suivantes (c’est rarement parfait dès la première fois !)

On prendra du temps pour observer et comparer les figures obtenues par un élève donné ou par les différents élèves du groupe, ainsi que pour découvrir ou confirmer la permanence de la conjecture.

Il sera intéressant par ailleurs de prolonger cette activité en utilisant un logiciel de géométrie avec un ordinateur-tableau noir ou dans la salle informatique. Ceci permet, outre l’intérêt accru que les élèves y trouvent, de davantage faire varier les situations " en direct ", et de faire vérifier la conjecture par la machine (nous disons bien vérifier et non prouver).

Trace un rectangle ABCD tel que
AB = 8cm et AD = 5cm.

Place le point M, milieu du côté [AB].

Trace la droite qui est perpendiculaire à la droite (DM) et qui passe par le point A.

Elle coupe le segment [DM] au point I et elle coupe le segment [DC] au point J.

4. Trace la droite qui est perpendiculaire à la droite (AJ) et qui passe par le point J.

Elle coupe la droite (AB) au point K.

Quelle conjecture peux-tu faire pour les droites (JK) et (MC) ?

Contrairement à la situation précédente, tous les élèves devraient obtenir la même figure. Il est possible de les inviter à s’auto-corriger à l’aide d’un transparent.

Dans ce genre d’exercices, pour faciliter le travail des élèves, on veillera à utiliser un langage très simple et parfois redondant. Par exemple, ici, à l’étape 3., on pourrait être tenté d’écrire, comme on le trouve trop souvent :

" Elle coupe les segments [DM] et [DC] respectivement en I et J. "

Avec une telle formulation, on est sûr d’augmenter considérablement la difficulté, et de déplacer complètement l’objectif !

L’un des intérêts de cette construction est qu’elle demande successivement de tracer une perpendiculaire passant par un point hors de la droite, puis passant par un point de la droite. Par ailleurs, la question posée permet d’insister sur le fait que deux droites peuvent être " ni parallèles ni perpendiculaires ", ce qui est loin d’être acquis à ce niveau.

On peut prolonger l’exercice en faisant varier les dimensions du rectangle jusqu’à trouver (JK) et (MC) perpendiculaires. (Cas où AB = 2 AD, et, ce qui peut perturber certains, où les points K et B sont confondus). On peut aussi, si l’on a du temps, faire reconnaître dans la figure des triangles particuliers.

" Pour mettre en place l’apprentissage du tracé à l’équerre de la perpendiculaire à une droite passant par un point, il faut prévoir des activités où l’élève a un but global pour lequel il est amené à répéter le geste de nombreuses fois. Les constructions par points ou par enveloppes permettent cela. "

(D’après J.C Rauscher , IREM de Strasbourg )

Place deux points A et B distants de 6 cm.
Trace quinze droites qui passent toutes par le point B.
Choisis une de ces droites ;
Trace la droite qui est perpendiculaire à la droite choisie et qui passe par le point A.
Marque en rouge leur point d’intersection.
Choisis une autre droite parmi les quinze premières.
Trace la droite qui est perpendiculaire à la droite choisie et qui passe par le point A.
Marque en rouge leur point d’intersection.
Refais le même travail avec toutes les autres droites qui passent par B.
Quelle conjecture peux-tu faire à propos des points rouges ?

Cet exercice, ardu au départ, a un effet magique sur les élèves. Ils voient apparaître le " cercle rouge " avec beaucoup de plaisir, et ils en oublient l’effort important qu’ils viennent d’accomplir ; parfois même ils en rajoutent " pour mieux voir " !

On peut s’étonner de la longueur de l’énoncé. En effet on pense généralement que pour les élèves en grande difficulté, lire constitue un obstacle majeur, et c’est souvent vrai. Mais ici, on se trouve dans une situation (la remise à niveau avec un petit groupe d’élèves) où l’on peut facilement faire lire le texte à voix haute, le faire commenter, faire découvrir sa structure itérative, donner des conseils (par exemple cocher les phrases à chaque nouvelle phase de la construction) etc.

Par ailleurs, surtout pour ces élèves, mieux vaut un texte long qui détaille bien les tâches à effectuer, qui respecte le déroulement chronologique de la construction, écrit avec des redondances et un certain rythme, qu’un texte lapidaire qui nécessite une traduction et qu’on ne sait pas par " quel bout prendre ".

(par exemple un énoncé du genre : " Soit deux points A et B. Trace quinze droites sécantes en B. Que peux-tu dire des points d’intersection de ces droites avec les droites perpendiculaires passant par A ? ")

Les erreurs repérées sont de natures différentes : imprécision des tracés, mauvais maniement de l’équerre, confusion entre " perpendiculaire à . qui passe par A " et " perpendiculaire en A à .", erreurs dans le marquage des points d’intersection, substitution du premier point rouge à A puis de chaque nouveau point rouge au précédent.

Cette activité convient bien aussi pour l’utilisation de matériel informatique : les élèves aiment faire refaire à la machine la construction qu’ils ont faite sur papier. Pour faciliter la conjecture et aider à la préciser, dans le cas où l’on utilise Cabri, on peut faire " cacher " les perpendiculaires au fur et à mesure que les points d’intersection sont marqués, cela rend la figure beaucoup plus lisible ; on peut aussi, en demandant de faire bouger une des droites, obtenir le cercle attendu de façon dynamique (en bougeant une droite, le point rouge " passe par tous les autres points rouges ") ; on peut aussi faire découvrir les caractéristiques du cercle, et avoir la satisfaction de faire dire à la machine qu’" elle est d’accord avec nous ! ".

Voici le début du programme de construction de la figure ci-dessous.

" Trace un segment [AB], de longueur 8 cm ; sur ce segment, place le point C .

1° Reproduis la figure en vraie grandeur.

2° Recopie le début du programme de construction et complète-le.

Cet exercice permet un passage à l’écrit. Cela pourra être l’occasion d’observer que les formulations peuvent être très variées, le programme de construction concernant pourtant une même figure. On pourra débattre et élaborer une ou deux propositions communes à partir du travail de chacun. Ce pourra être aussi l’occasion d’un travail commun français-math

L’exercice se fait en deux temps : appropriation de la figure puis écriture du scénario (on trouve ce mot à la place de " programme de construction " en cycle 3).

La figure est beaucoup moins simple qu’il n’y paraît. Cette fois, on introduit une autre vision des perpendiculaires, puisqu’il s’agit non plus seulement de droites mais aussi de segments, côtés de triangles. Par ailleurs, la construction du point D exige de mobiliser simultanément les deux codages d’angle droit en B et C, et de reconnaître le point D comme point d’intersection de deux droites qui ne sont pas nommées.

Pour la deuxième partie, nous avons choisi d’imposer le début du texte. Cela évite d’avoir à se poser la question " par quoi commencer ? ", question souvent angoissante pour les élèves en grande difficulté. Cela rend aussi inutile dans l’énoncé la précision " les points A, B, C sont alignés ", ce qui alourdirait inutilement.

Si le passage à l’écriture individuelle provoque un refus ou un blocage pour certains, on peut laisser un temps de réflexion personnelle puis demander une écriture collective ou par petits groupes de deux ou trois. Dans ce cas, il faudra que le professeur soit vigilant pour solliciter la participation effective de chacun, et pour éviter d’intervenir lui-même sauf pour faire préciser la pensée de tel ou tel.

On pourra prolonger cette activité avec la classe entière, en faisant réaliser la figure en vraie grandeur à partir du programme élaboré dans le groupe, sans donner la figure originale. C’est une façon de valider le programme et de valoriser le travail du groupe, surtout si ces élèves sont eux-mêmes chargés, avec l’aide de l’enseignant, de réaliser la " dictée de figure ".

Ecris le programme de construction de cette figure

Cet exercice nécessite à la fois le choix judicieux du point de départ et le traitement simultané de deux contraintes pour la construction du point D. Il est nécessaire d’inciter ceux qui ne le feraient pas d’eux-mêmes, à construire d’abord la figure en vraie grandeur pour se l’approprier.

Le prolongement en classe entière pourra se faire avec la construction de la figure en vraie grandeur à partir des programmes écrits à condition qu’ils soient de bonne qualité. En effet ce doit être un moyen de valoriser et non de ridiculiser le travail du groupe !




Site réalisé sous SPIP
avec le squelette ESCAL-V3
Version : 3.87.22